定积分的运算法则包括以下几点：

线性性质

定积分满足线性性质，即对于任意常数k和函数f（x），有：

\[

\int kf（x） \, dx = k \int f（x） \, dx

\]

加法性质

如果f（x）和g（x）在区间[a, b]上都可积，则它们的和的定积分等于各自定积分的和：

\[

\int [f（x） + g（x）] \, dx = \int f（x） \, dx + \int g（x） \, dx

\]

积分区间的拆分

可以将一个大的积分区间拆分成多个小区间，然后分别在这些小区间上进行积分，最后再将结果求和：

\[

\int_a^b f（x） \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f（x_i^*） \Delta x

\]

其中，\（ x_i^* \） 是在第i个小区间内f（x）的一个代表值，\（ \Delta x = \frac{b - a}{n} \） 是小区间的宽度。

换元法

通过变量替换将复杂的积分转化为简单的积分。常见的换元法包括第一类换元法（用于消去根号）和第二类换元法（用于处理三角函数和指数函数等）。

分部积分法

对于乘积形式的函数，可以使用分部积分法将其转化为两个较简单的函数的差，然后进行积分：

\[

\int u \, dv = uv - \int v \, du

\]

定积分与不定积分的关系

定积分可以通过不定积分来定义和计算，具体地，对于函数f（x）在区间[a, b]上的定积分，可以表示为：

\[

\int_a^b f（x） \, dx = F（b） - F（a）

\]

其中F（x）是f（x）的一个原函数。

这些法则和性质是计算定积分的基础，可以帮助我们解决各种复杂的积分问题。建议在实际应用中，根据具体的函数形式和积分区间选择合适的方法进行计算。