余弦定理，也称为三角形余弦定理或cos定理，用于计算一个三角形的任何一条边的长度或角度。它的数学表达式如下：

已知两边和一个夹角求第三边

$$

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C

$$

其中，$a$、$b$、$c$ 分别表示三角形的三条边，$C$ 表示 $a$ 和 $b$ 之间的夹角。通过这个公式可以求得第三条边 $c$ 的长度。

已知三边求夹角

$$

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

$$

通过这个公式可以求得夹角 $C$ 的角度值。

余弦定理的常见变形

求角

$$

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \quad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}, \quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

$$

这些公式可以用于直接求出三角形中任意一个角的余弦值。

求边

$$

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A, \quad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C

$$

这些公式可以用于直接求出三角形中任意一条边的长度。

利用余弦定理求三角形面积

已知三边求面积

先利用余弦定理求出任意一个角的余弦值：

$$

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

$$

然后利用同角三角函数的基本关系求出该角的正弦值：

$$

\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C}

$$

最后代入三角形面积公式求出面积：

$$

S = \frac{1}{2}ab \sin C

$$

这个公式适用于已知三角形的三边长度的情况。

已知两边和夹角求面积

直接利用三角形面积公式：

$$

S = \frac{1}{2}ab \sin C

$$

此时，$\sin C$ 是已知量，因此可以直接代入公式求解。注意，虽然题目没有直接给出三边长度，但可以通过余弦定理的逆定理（即已知两边和夹角可以唯一确定一个三角形）来确认三角形的存在性，并进而求解面积。

通过以上步骤和公式，可以灵活运用余弦定理来解决三角形中的边长和角度计算问题。